[Sunnata]

Nhân cơ hội này ta cũng cần bàn về khái niệm “phần tử”. Trong hệ tiên đề của lý thuyết tập hợp không có đề cập tới khái niệm “phần tử của tập hợp”, mặc dù nó là một khái niệm cơ bản của một tập hợp. Chính điều này đã dẫn tới nghịch lý Russell, do Bertrand Russell nêu lên năm 1901, gây nên một cuộc khủng hoảng trầm trọng trong nền tảng của toán học.

Russell xét một tập hợp đặc biệt, đó là “Tập hợp R gồm tất cả các tập hợp không phải là những phần tử của chính nó”. Như vậy tập hợp A sẽ là một phần tử của tập hợp R khi và chỉ khi A không phải là một phần tử của A. Câu hỏi đặt ra: R có phải là một phần tử của tập hợp R không? Lập luận logic chỉ ra rằng nếu R thuộc R thì R không thuộc R, và ngược lại:

Sự mâu thuẫn này tương tự với nghịch lý “Tôi đang nói dối”.

Và nghịch lý “nói dối” là hệ luỵ của logic nhị nguyên, là hệ luỵ của tính chất sắp thứ tự của các tập hợp N và R. Trong phần tiếp sau chúng ta sẽ phân tích để chỉ ra rằng tập hợp N và R là sản phẩm của “tư duy thứ tự” của con người, bởi bộ não là một “hệ tư duy thứ tự”.

1.6) Sơ lược Đại số Boole

Đại số Boole là gọi theo tên nhà toán học tự học người Anh George Boole (3). Tác phẩm nổi tiếng của ông là “An Investigation of the Laws” (Nghiên cứu về các định luật), công bố năm 1854, đã đặt nền móng cho môn Đại Số Boole. Môn đại số này có thể xem là tiền thân của lý thuyết tập hợp và logic học. Khác với số học, nó chỉ xây dựng trên hai ký tự (0, 1) trong đó ký tự 1 có thể hiểu là “true” (đúng) và ký tự 0 có thể hiểu là “false” (sai). Nó hoạt động với ba phép toán and, or, và not. Nó đặc biệt khác với số học ở một số tiên đề, ví dụ:

∀a, b, c ∈ B thì a + (b.c) = (a + b).(a + c) hoặc A + A = A và A.A = A.

Ví dụ:

Mạch điện trên sẽ có phương trình logic sau

{[(p ∧ q) ∨ (r ∧ p)] ∧ (s ∨ q)} ∨ {[(q ∨ r) ∧ (s ∧ r)] ∨ (q ∧ s)}

áp dụng các tiên đề của đại số Boole ta có phương trình rút gọn sau

(p ∨ s) ∧ [q ∨ (r ∧ s)]

Kết quả ta thu được một mạch điện đơn giản hơn

Năm 1937 chàng sinh viên cao học Claude Shannon đã trình bày tại viện MIT luận văn cao học, chứng minh rằng: Đại số Boole có thể áp dụng vào lý thuyết mạch điện và mạch logic. Ông đã đưa ra lý thuyết chế tạo máy tính số. Năm 1948 ông đã công bố cuốn sách “A mathematical theory of communication” (Lý thuyết toán học về thông tin liên lạc) và ông được coi là cha đẻ của lý thuyết thông tin. C. Shannon đã đưa ra khái niệm “đơn vị thông tin” là bit (viết tắt của Binary digit – đơn vị nhị phân [0, 1]) và thường một dãy 8 bit được gọi là một byte.

II. CÁC HỆ THỨ TỰ và CÁC AUTOMAT

Trước khi chuyển sang nghiên cứu các hệ sinh học, để có bước chuyển tiếp chúng ta hãy đưa ra khái niệm “các hệ thứ tự” và một vài minh hoạ thông qua các automat và cao hơn là các mạng Neuron nhân tạo

2.1) Các Automat

Ta gọi hệ S là một hệ thứ tự nếu nó hoạt động theo tiên đề thứ tự. Điều đó có nghĩa là

nếu ta đưa vào hệ thống S một cặp tín hiệu (a, b)  ta sẽ thu được ở đầu ra một tín hiệu α, còn nếu tín hiệu ở đầu vào là (b, a) thì ta sẽ thu được ở lối ra tín hiệu β. Hai tín hiệu ra này phải khác nhau

α ≠ β

Nguyên lý hoạt động này có thể minh hoạ qua các automat. Các automat mà ta quen thuộc là các máy tự động hoặc các máy “thông minh” như máy ATM (rút tiền), máy mua hàng và cao hơn nữa – các máy Turing và quá quen thuộc là các computer.

Để minh hoạ, chúng ta hãy tìm hiểu nguyên lý hoạt động của các “máy hữu hạn trạng thái có đầu ra”. Một máy hữu hạn trạng thái có đầu ra được định nghĩa là

Đó là một hệ có một số hữu hạn trạng thái: S = S0, S1, S2 và S3. Ký hiệu I biểu diễn một bộ ký tự tác động lên đầu vào của hệ.

Đó là một sâu ký tự, tức một dãy thứ tự các ký hiệu, ví dụ (a, b, c, d).

Ký hiệu O biểu diễn một bộ hữu hạn tín hiệu đầu ra (sản phẩm)      (ví dụ: 1 triệu, 2 triệu, 5 triệu đồng).

Ký hiệu f biểu diễn một hàm chức năng để chuyển hệ từ trạng thái Si → Si+n (ví dụ: S0 → S1).

Ký hiệu g biểu diễn hàm chức năng để gán tương ứng một cặp bao gồm một trạng thái đang có cùng một tín hiệu tác động ở đầu vào để tạo ra một kết quả ở đầu ra

g: (Si + Ii) → Sra

Ký hiệu S0 chỉ trạng thái ban đầu của hệ.

Trên sơ đồ biểu diễn hoạt động của hệ với I là các cặp thứ tự (0, 1) và 0 tương ứng cho tín hiệu ở đầu ra các cặp thứ tự (0, 1). Ví dụ từ trạng thái ban đầu S0, nếu I = (0, 1) hệ sẽ chuyển sang trạng thái S1. Nếu tiếp tục có tín hiệu ở đầu vào I = (1, 1) hệ sẽ quay trở lại trạng thái S0; và tương tự với các tình huống khác.

2.2) Máy Turing (Turing Machine)

Các Máy Turing lấy theo tên nhà toán học Alan Turing người Anh.

Đó là một mô hình về một thiết bị xử lý các dãy ký tự. Ban đầu Máy Turing là để xử lý các sâu nhị phân. Khả năng tính toán của Máy Turing được nâng cao dần nhờ việc tăng cường các bộ nhớ và đó là điều khác biệt cơ bản giữa Máy Turing với các máy hữu hạn trạng thái khác. Vai trò của các bộ nhớ có dung lượng lớn hơn đã đưa Máy Turing phát triển lên thành các thế hệ computer ngày nay.

Alan Turing là nhà logic toán, nhà mật mã học, rất quan tâm tới toán – sinh học.

– Ông tin rằng tất cả các hiện tượng, bao gồm cả hoạt động sống của bộ não con người đều là vật chất. Nhưng ông cũng tin vào sự tồn tại của linh hồn sau khi chết.

– Năm 1928, nhà toán học Đức David Hilbert đã đề ra bài toán về tính “quyết định được” (tiếng Đức: Entscheidungsproblem, tiếng Anh: Decidable problem). Turing đã cho đăng bài viết “các số khả tính với áp dụng trong bài toán quyết định được”.

– Turing tái dựng các kết quả của Kurt Gödel (1931) về những hạn chế trong các phép chứng minh và tính toán, thay đổi thuật ngữ tuờng trình số học chính quy của K. Gödel  bằng cách đưa ra Máy Turing. Máy Turing vẫn là một chủ đề nghiên cứu lớn của Khoa học Computer (Computer Science).

Xin độc giả ghi nhớ cho hai từ “bộ nhớ”! Nó rất thông dụng với các computer hiện đại, nhưng không nên quên rằng chính nó là “cơ sở của mọi nhận thức”.